Algebraic projective geometry - download pdf or read online

By the late J. G. Semple, G. T. Kneebone

ISBN-10: 0198503636

ISBN-13: 9780198503637

First released in 1952, this booklet has confirmed a helpful creation for generations of scholars. It presents a transparent and systematic improvement of projective geometry, development on innovations from linear algebra.

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Also ist F injektiv ⇐⇒ dim ker F = 0 ⇐⇒ dim im F = dim W ⇐⇒ im F = W ⇐⇒ F ist surjektiv. achst die Existenz eines Komplementes V = ker F ⊕V Wir beweisen nun Satz 9. Dazu nehmen wir zun¨ an und setzen ϕ = F | V : V −→ im F . Wir behaupten: ϕ ist ein Isomorphismus. a) Es sei v ∈ ker ϕ . Dann ist v ∈ ker F ∩ V = {0} , also v = 0 , d. h. ϕ ist injektiv. b) w ∈ im F =⇒ w = F (v) , v ∈ V = ker F ⊕V =⇒ v = v0 + v =⇒ w = F (v) = F (v0 + v ) = F (v0 ) + F (v ) = 0 + ϕ (v ) = ϕ (v ) . Also ist ϕ surjektiv.

8 F¨ ur A ∈ M (n × n, K) sind ¨ aquivalent : i) A ∈ GL (n, K) . ii) Es existiert A mit A A = En , also ein Linksinverses zu A . iii) Es existiert ein Rechtsinverses zu A . iv) t A ∈ GL (n, K) . v) Der Spaltenrang von A ist gleich n . vi) Der Zeilenrang von A ist gleich n . vii) det A = 0 . Beweis. A ist genau dann invertierbar, wenn die zugeordnete lineare Abbildung FA invertierbar ist. Nun folgt aus der Existenz eines Linksinversen zu A und damit zu FA die Injektivit¨ at von FA und at von FA .

An ) = rang A . b) Umgekehrt gilt stets span (a1 , . . , an ) ⊂ span (a1 , . . , an , b) . Ist nun rang A = rang (A, b) , so sind aume gleich, so daß also die Dimensionen der beiden R¨ span (a1 , . . , an ) = span (a1 , . . , an , b) b. Folglich gilt b ∈ span (a1 , . . , an ) , d. h. ∃ x = t (x1 , . . , xn ) , s. d. b = x1 a1 + · · · + xn an . Dies bedeutet A x = b , d. h. LA,b = ∅ . In der Geometrie gibt es keinen Ursprung (ausgezeichneten Punkt) und kein ausgezeichnetes Koordinatensystem.

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by Jason
4.4

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