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By Miguel A. Rodríguez

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La llamaremos A(X), y es un ´algebra asociativa con elemento unidad. Es el ´ algebra asociativa libre generada por X. Esta ´algebra es un objeto universal en la categor´ıa de ´algebras asociativas. En realidad, vamos a definir el ´ algebra asociativa libre como un objeto universal, y despu´es veremos que el ´algebra anteriormente estudiada es una representaci´on expl´ıcita de un ´algebra libre. 1 Sea X un conjunto no vac´ıo. 1) De acuerdo con esta definici´ on, el ´ algebra definida anteriormente es un ´algebra libre sobre X, el conjunto de s´ımbolos, y la aplicaci´ on i la inclusi´on.

Si gl (a1 , . . , an ) = n 0, el endomorfismo ada1 x1 +···+an xn tiene el autovalor 0 con multiplicidad l y entonces i=1 ai xi es regular. Est´ a claro que l es el rango de g. 1 est´a contenido en ´este) 1 En ad [5] se llama rango al n´ umero n − dim g0 h . Puesto que adh h = 0, el rango es estrictamente menor que la dimensi´ on del ´ algebra. Si el ´ algebra es nilpotente el rango es cero, pues por el teorema de Engel, los endomorfismos adx son nilpotentes. ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´on 4.

J π(e−α )vk = vk+1 , k = 0, 1, . . , j − 1, π(e−α )vj = 0 1 π(eα )vk = k(j − k + 1) α, α vk−1 , k = 1, 2, . . 72) La demostraci´ on se basa en un uso adecuado de los resultados obtenidos para sl(2, C). 17 Si v ∈ V es distinto de cero, tal que π(h)v = λ(h)v, π(eα )v = 0, entonces v genera un g(α) -m´ odulo irreducible. 18 Sea λ un peso de la representaci´ on (V, π). Consideremos el conjunto de pesos que tiene la forma λ + kα, k ∈ Z, α ∈ ∆. Este conjunto est´ a formado por: λ − qα, λ − (q − 1)α, .

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Álgebras de Lie by Miguel A. Rodríguez


by Michael
4.1

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