Algèbre - download pdf or read online

By Antoine Chambert-Loir

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Festkörpertheorie I: Elementare Anregungen by Otfried Madelung PDF

Unter den im ersten Band dieses auf drei Bände projektierten Werks behandelten elementaren Anwendungen versteht der Autor Kollektivanregungen (Plasmonen, Phononen, Magnonen, Exzitonen) und die theorie des Elektrons als Quasiteilchen. Das Werk wendet sich an alle Naturwissenschaftler, die an einem tieferen Verständnis der theoretischen Grundlagen der Festkörperphysik interessiert sind.

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Soit A un groupe. Rappelons qu’on dit qu’une relation d’équivalence ∼ dans A est compatible avec la loi de groupe de A si les relations a ∼ b et a′ ∼ b′ entraînent aa′ ∼ bb ′ . Supposons que ce soit le cas et soit a, b des éléments de A tels que a ∼ b ; comme a−1 ∼ a−1 , il vient alors e = a−1 a ∼ a−1 b, puis b −1 = eb −1 ∼ a−1 bb−1 = a−1 car b −1 ∼ b −1 ; comme la relation ∼ est symétrique, on a donc a−1 ∼ b −1 . Soit C l’ensemble quotient A/∼ de A par la relation d’équivalence ∼ et soit c ∶ A → C la surjection canonique (qui associe à un élément a ∈ A sa classe d’équivalence.

GROUPES b) Le groupe F(S) est sans torsion. c) Si Card(S) ⩾ 2, le centre de F(S) est réduit à l’élément neutre. Démonstration. — a) Pour deux éléments s, t de S tels que s ≠ t, les mots (s) et (t) sont réduits et distincts, donc leurs images j(s) et j(t) dans F(S) sont distinctes. Cela prouve que j est injective. b) Soit g un élément de F(S) distinct de e et soit (s1 , . . , s n ) ∈ M′ (S)0 l’unique mot réduit d’image g. On démontre par récurrence sur n que g d ≠ e pour tout entier d ⩾ 1. Il y a trois cas.

M n ) = f¯(x1m1 . . x nm n ) = f (s1m1 . . s nm n ) = ∑ m i e i = (m1 , . . , m n ), donc f¯ ○ g = id. De plus, g( f¯(x i )) = g(e i ) = x i pour tout i. Comme {x1 , . . , x n } engendre G(S; R), on a donc g ○ f¯ = id. Cela conclut la preuve que f¯ est un isomorphisme de G(S; R) sur Zn . 11) (Coproduit d’une famille de groupes) Soit (Ai )i∈I une famille de groupes. Il existe un groupe A et une famille ( j i )i∈I , où, pour tout i, j i est un morphisme de groupes de Ai dans A vérifiant la propriété suivante : pour tout groupe B et toute famille ( f i )i∈I , où f i est un morphisme de groupes de Ai dans B, il existe un unique homomorphisme de groupes φ ∶ A → B tel que φ ○ j i = f i pour tout i ∈ I.

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by Mark
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