New PDF release: Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540344926

ISBN-13: 9783540344926

Ce dixiÃ¨me chapitre du Livre d AlgÃ¨bre, deuxiÃ¨me Livre du traitÃ©, pose les bases du calcul homologique.

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W, m Hn-l(C') ... H,(Con (u)) H-), H,- i(C') .. H,,(Con (u)) '1 où la première ligne (resp. la seconde) est la suite exacte d'homologie associée à la suite exacte (6) (resp. (7)). Les applications H,(P) sont bijectives (prop. 7, c)) et le diagramme est commutatif, puisque a) u = p o E (prop. 7, a)) donc H,(u) = H,(B) o H,(E), 6) H,(P) = H,(a)-' et n = r t o cr (prop. 7, a) et c)), donc H,(rt) = H,(x) o H,(P), c) H,(6) = B,(E, E ) (lemme 3, b)). 7. Le cône d'un morphisme injectif ;nouvelle définition de I'homomorphisme de liaison Considérons maintenant une suite exacte de complexes Définissons une application A-linéaire graduée de degré O cp : Con (u) + C" par cp(yl, x) = v(x).

7 ) O -+ C -+ Con (u) + Cl(- 1 ) -+ 0 . Remarque. - Soient E un complexe, h : E -+ C et h' : E + C' des homotopismes avec C et C' bornés de type V . En effet, si hl est un inverse de h à homotopie prés, h' o hl est un homotopisme, donc un homologisme de C dans C f et on peut appliquer la prop. 10. Par suite, on peut étendre la définition 8 en posant x(E) = x(C) dès qu'il existe un homotopisme de E sur un complexe C borné de type V. Les propositions 10, 11, 12 et leurs corollaires se généralisent dans ce cadre.

On pose Z(C, d ) = Ker ( d ) , B(C, d ) = Im ( d ) ; ce sont des sous-modules gradués de C , appelés respectivement le module des cycles et le module des bords de ( C , d ) ; les composantes homogènes de Z(C, d ) et B(C, d ) se notent Z,(C, d ) = Z-"(C, d ) , B,(C, d ) = B-"(C, d ) ; on a Z,(C, d ) = Ker (d,), B,(C, d ) = Im (d,+ ,), Zn(C,d ) = Ker (dn), Bn(C,d ) = Im (dn-'). Puisque d o d = O, -on a B(C) c Z ( C ) ; deux cycles sont dits homologues si leur différence est un bord ; le module gradué quotient H(C, d ) = Z(C, d)/B(C,d ) est appelé le module d'homologie de (C, d ) ; ses éléments sont les classes d'homologie ; ses composantes homogènes sont notées H,(C, d ) = H-"(C, d ) .