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By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540343946

ISBN-13: 9783540343943

ISBN-10: 3540343954

ISBN-13: 9783540343950

Algèbre commutative, Chapitre 10

Profondeur, régularité, dualité

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce quantity du Livre d’Algèbre commutative, septième Livre du traité, est los angeles continuation des chapitres antérieurs. Il introduit notamment les notions de profondeur et de lissité, fondamentales en géometrie algébrique. Il se termine par l’introduction des modules dualisants et de l. a. dualité de Grothendieck.

Ce quantity est paru en 1998.

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T, (A, X, p. 54, prop. 8), on en dktlilit (iv). L'irriplicwliorr (iv) =+ (i) est triviale. COROLLAIRE 1 . fms lord noethkrien et r> wr~e n k r 3 0 . s : (i) o,n, n &(A) < rr ; (ii) on a E x t i (M, N) = O r:t 'l'or: (NI: N ) = O p o w fmrt r:ouple (M, N ) dr A-m,odvles e2 tout ~ ~ i l i ie 3 r n ; (iii) ori u, Tort (K*, K , ~=) O ; (iv) on (L ExtA ( K ~ K*) , =O ; (v) 071 U <1h(KA)< T L . st clair qiic (i) iinpliqiie (ii) et que (ii) irriplique (iii) et (iv). D'aprks la prop. 4 appliqiibe air A-iriodulr K* , chamne des corditions (iii) et (iv) irnpliquc (v).

Ii) + (iii) : c'est Lrivial. (iii) + (i) : sous l'hypotl~iw(iii), A,,, cst 1111 anuciiu de Gortwstcin pour tou1 idéal maximal m de A (th. 2), et A est de Coreristein. 8 X" PROFONDISIJK l','Y D I M E N S I O N HOMOLOGIQIJE 8. Anneaux de Gorcnstein et algèbres platcs Soil. p : A i IJ ,un, h,orrrortmrphasrn,e loca,l d'ar~netiuzloccmr: plal. 4 B son1 des cmrreairrr de Gorenstein. nneaux A et B sorit ar1,iriicris. "idiiel K(; s'identifie à. K~ . Pilisqiir P> est plat sur A , lc ~ ;M A B (1, § 2,no 10, prop.

11 r4si1lte alors (le V l l , $ 3, no 7. cor. 3 de la prop. riiieaii est factoricl. - P I ~ O P ~ S I ~3 I.. et M Irn A-module nwn nul de type Jirri. rr~ercsion,proj~ctitleest finie et 1 'osri. (1. dp,, (M) -t prof,, (M) = dini(A) . En effet, IL1 cst (le dirric:rision projective h i c (prop. caiilay (5 2. ri" 5, excrnplc 7). On appliquc alors le th. i 3, ri0 5 . OLI,ATRE 1. n. COROLLAIRE 2 . Po~rrqu,e le A-modulc WI soit libre, il faut et il suffit qu'il soit mmcuulaycn ct de dirn,ension tlirii(A) , »v encore qu'il soit de profondeur 3 tlirn(A) .

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by Anthony
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