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By Antoine Chambert-Loir

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Soit A un monoïde (resp. un groupe) et soit X un ensemble. On définit de façon analogue les opérations à droite de A dans X. C’est un morphisme de A dans le monoïde opposé au monoïde des applications de X dans lui-même, c’est-à-dire une application g ∶ A → F(X; X) telle que g(e) = idX et g(ab)(x) = g(b)(g(a)(x)), pour tous a, b ∈ A et tout x ∈ X. Se donner une opération à droite g revient aussi à se donner une application ψ ∶ X × A → X telle que ψ(x, e) = x et ψ(ψ(x, a), b) = φ(x, ab) pour tous a, b ∈ A et tout x ∈ X.

Enfin, si φ′ ∶ M(S) → A est un morphisme de monoïdes tel que φ ○ j = φ′ ○ j, φ et φ′ coïncident sur l’image j(S) de S. Comme cette image engendre M(S) et que Ker(φ, φ′ ) est un sous-monoïde de M(S), on a φ = φ′ . 3. — Soit S un ensemble et soit S′ une autre copie (disjointe) de l’ensemble S ; pour s ∈ S, l’élément correspondant de S est noté s′ . Soit M′ (S) le monoïde libre sur l’ensemble S∪S′ et soit j′ ∶ S∪S′ → M′ (S) l’injection canonique. Soit ∼ la plus petite relation d’équivalence dans M′ (S) qui est compatible avec sa structure de monoïde pour laquelle ss′ ∼ e et s′ s ∼ e pour tout s ∈ S et soit F(S) le 46 CHAPITRE 2.

L’ordre de g divise le cardinal de G. 16) (Équation aux classes). — Soit G un groupe fini et soit Z son centre. Pour chaque classe de conjugaison C ∈ C (G) non réduite à un singleton, choisissons un élément xC ∈ C et notons ZC le centralisateur de xC . On a alors Card(G) = Card(Z) + ∑ (G ∶ ZC ). 7. SOUS-GROUPES DISTINGUÉS ET GROUPES QUOTIENTS 39 Démonstration. — On considère l’action de G sur lui-même par automorphismes intérieurs. Ses orbites sont les classes de conjugaison ; pour tout point x ∈ G, le fixateur de x est le centralisateur de x.

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