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By Ina Kersten

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Sei nun V endlich dimensional, und sei s : V × V −→ K, (v, w) −→ v, w , eine symmetrische Bilinearform auf V . Zugeh¨ orige Matrix: Sei B = {v1 , . . , vn } eine Basis von V . Dann geh¨ort zu s die symmetrische Matrix   v1 , v1 · · · v1 , vn   .. MB (s) :=  ...  . 2 Schiefsymmetrische Bilinearformen 49 Umgekehrt gibt es zu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Mn×n (K) genau eine symmetrische Bilinearform s : V × V −→ K so, dass MB (s) = A gilt, vgl. 3 Basiswechsel: Seien B und B Basen von V . 2 so gilt MB (s) = t T MB (s) T Schiefsymmetrische Bilinearformen Definition.

L¨ asst sich leicht die Eigenschaft 1. folgern, vgl. 2. Sei nun V endlich dimensional, und sei s : V × V −→ K, (v, w) −→ v, w , eine symmetrische Bilinearform auf V . Zugeh¨ orige Matrix: Sei B = {v1 , . . , vn } eine Basis von V . Dann geh¨ort zu s die symmetrische Matrix   v1 , v1 · · · v1 , vn   .. MB (s) :=  ...  . 2 Schiefsymmetrische Bilinearformen 49 Umgekehrt gibt es zu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Mn×n (K) genau eine symmetrische Bilinearform s : V × V −→ K so, dass MB (s) = A gilt, vgl.

In diesem Kapitel werden wir nur den Spezialfall X = V betrachten. 10 hatten wir eine Bewegung eines euklidischen Vektorraums V als eine abstandserhaltende Abbildung β : V −→ V definiert, also als eine Abbildung, f¨ ur die gilt: β(v) − β(w) = v − w ∀v, w ∈ V Beispiel. ur jeden Vektor v0 ∈ V Die Translation β = tv0 : V −→ V , v −→ v +v0 , ist f¨ eine Bewegung, denn es gilt: β(v) − β(w) = v + v0 − (w + v0 ) = v − w Aber tv0 ist nicht Offensichtlich gilt ❘-linear, falls v0 = 0 (da dann tv0 (0) = v0 = 0 ist).