Download PDF by Robert Sauer: Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen

By Robert Sauer

ISBN-10: 364252799X

ISBN-13: 9783642527999

ISBN-10: 3642528007

ISBN-13: 9783642528002

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Es lassen sich dann, ähnlich wie in § 7, unendlich viele Integralflächen durch den Ausgangsstreifen legen; denn jeder Streifen, der mit dem Ausgangsstreifen ein Flächenelement gemeinsam hat und den unter a) gestellten Voraussetzungen genügt, liefert eine den Ausgangsstreifen enthaltende Integralfläche. c) Wenn der vorgegebene Streifen nicht charakteristischer Streifen, jedoch der Grundriß k' der Streifenkurve k Grundcharakteristik ist, wenn also x(t) : y (t) = (/) p : (/) q gilt, folgt wie in § 7, Ziff.

10 mit Kreisen bzw. 10. ander verknüpft. Wir können uns daher weiterhin etwa auf die mit Kreisen markierten Punkte beschränken. Bildet man die "diagonalen" Differenzen (vgI. Abb. 8) r r I~ = 12 - 13, I~ = 12 -- 11, so folgt aus GI. 7) I~ = I~ = ... = const, I~ = I~ = ... = const, d. h. die linksseitigen diagonalen Differenzen sind längs der rechtslaufenden Charakteristiken konstant und die rechtsseitigen Differenzen längs der linkslaufenden Charakteristiken. Also ist z. B. (vgI. Abb. 10) 1(5) - S I(A) = ~ A, r B = ~ A, r § 5.

10 eingezeichneten 24 1. Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen. Diagonalquadrate des Bestimmtheitsdreiecks AB 5 0= 2h 2 ~ 12-14 L[tJ = r rJ ' [2(I-a2)(~r+a2(()l ~ (~ r ~ r h ABS h 1 [2 (I - a2 ) (~ + a ~ 2 ( +hls - h + a2('; YJ . 12) Die Glieder für die "inneren", d. h. je zwei benachbarten Diagonalquadraten gemeinsamen Seiten heben sich bei der Summation weg. Beim Grenzübergang h -+ 0 strebt in GI. 12) die Sumnie h ~ AB gegen ein bestimmtes Integral mit einem endlichen nichtnegativen Wert; wie in Ziff.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


by John
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