New PDF release: Computer-Algebra

By Bruns W.

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M/ mit s; t 2 RŒX . Wir wollen beide Kongruenzen simultan liften. Gesucht sind h ; g ; s ; t 2 RŒX  mit f Á g h mod m2 und s g C t h Á 1 mod m2 . m2 / f zu l¨osen. Sei e D f auf die Kongruenz gh D um, u 2 RŒX . m/: u Nun nutzen wir aus, daß sg C th Á 1 mod m. Multiplikation mit u zeigt dann, daß wir gQ D ut; hQ D us; also g D g C et; h D h C es w¨ahlen k¨onnen. Da wir die Kongruenz sg C th Á 1 mod m genutzt haben, m¨ussen wir auch sie liften, wenn das Verfahren fortgesetzt werden soll. m2 / zu betrachten.

Beweis. (a)S) (b): Sei I1 I2 eine aufsteigende Kette von Idealen. 1 Dann ist I D iD1 Ii ein Ideal. ) Nach Voraussetzung ist I endlich erzeugt, etwa von f1 ; : : : ; fm . Dann existiert ein p mit fj 2 Ip f¨ur alle j , und es muß I D Ip D Iq f¨ur alle q p gelten. (b) ) (c): Wenn es eine Menge M von Idealen ohne maximales Element gibt, dann k¨onnen wir eine echt aufsteigende Kette I1 ¨ I2 ¨ I3 ¨ bauen, indem wir I1 2 M beliebig w¨ahlen.

Beweis. (a) Sei I ein monomiales Ideal, etwa erzeugt von X a1 ; : : : ; X am . ) Sei f 2 I . Dann gilt f D m X i D1 qi X ai S mit q1 ; : : : ; qm 2 KŒX1 ; : : : ; Xn . qi X ai / ist durch X ai teilbar. Folglich existiert ein i mit X ai j X b , so daß X b 2 I . Die Umkehrung ist trivial, denn jedes Polynom liegt ja in dem von seinen“ ” Monomen erzeugten Ideal. (b) Sei M die Menge der Monome in I , M0 die Menge der hinsichtlich Teilbarkeit minimalen Elemente in M und N ein monomiales Erzeugendensystem von I .

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Computer-Algebra by Bruns W.


by Thomas
4.3

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